Ре­ше­ние. Пусть A₁, B₁ и C₁  — точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми BC, AC и AB со­от­вет­ствен­но. Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти обо­зна­чим r. Тогда AC₁  =  AB₁, BC₁  =  BA₁ и CA₁  =  CB₁  =  r. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 2AC₁ + 2BC₁ + 2CA₁  =  2AB + 2r. По­лу­пе­ри­метр p равен AB + r.

По фор­му­ле пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка на­хо­дим

Ответ: 54.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть A₁, B₁ и C₁  — точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми BC, AC и AB со­от­вет­ствен­но. Пусть AC₁  =  AB₁  =  x, BC₁  =  BA₁  =  y. Тогда AC  =  x + r, BC  =  y + r, AB  =  x + y. Учи­ты­вая, что r  =  3 и x + y  =  15, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­чим

Сле­до­ва­тель­но, один из ка­те­тов тре­уголь­ни­ка равен 9 + 3  =  12, вто­рой катет равен 6 + 3  =  9, и пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна