PDF-версии: 
В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции 
и 
Решение. Достроим трапецию до треугольника и введем обозначения, как показано на рисунке. В силу подобия треугольников PBC, PEF и PAD имеем:
Складывая равенства, получаем 
откуда
Ответ: 25.
Примечание.
Отметим, что найденная длина отрезка является средним квадратичным оснований. О других средних в трапеции и соотношении между ними см. задание 511264 на портале Решу ЕГЭ.
Приведем другое решение.
Продлим боковые стороны трапеции AB и CD до пересечения в точке F. Треугольник BFC подобен треугольнику AFD, тогда
Пусть 
тогда 
Отрезок KL делит трапецию ABCD на два четырехугольника равной площади, тогда 
откуда
Треугольник KFL подобен треугольнику BFC, следовательно, 
откуда
тогда 
Приведем решение, построив вспомогательный параллелограмм.
Пусть 
Проведем отрезок KL, делящий трапецию на две равновеликие трапеции и обозначим его длину x. Проведем из вершины C высоту CH и отрезок CE, параллельный стороне AB. Точки пересечения этих отрезков с отрезком KL назовем M и N соответственно. Из условия следует, что
Из подобия треугольников NCL и ECD следует, что
откуда 
Следовательно,
Разделим обе части равенства на CH и выразим х:
Подставляя 
и 
получаем:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |