Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника AMK.
Решение. Проведем отрезок MT, параллельный AP, вспомним, что точка M, — середина AC, следовательно, MT — средняя линия треугольника APC, значит, CT = TP. Аналогично KP — средняя линия треугольника BMT, то есть BP = PT.
Пусть площадь треугольника BKP равна S. Рассмотрим треугольник KPC он имеет общую высоту с треугольником BKP и вдвое большее основание, следовательно, его площадь равна 2S. Площадь треугольника BKC равна 3S и такую же площадь имеет треугольник CMK, поскольку они имеют одну высоту, проведенную из вершины C и равные основания. Аналогично площадь треугольника CMK, равна площади треугольника AKM, а площадь треугольника AKM равна площади треугольника ABK. Подведем итог:
Отношение площади четырехугольника KPCM к площади четырехугольника AMK:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |