Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если угол равен 45°, то вер­ти­каль­ный с ним угол равен 45°»  — верно, по тео­ре­ме о вер­ти­каль­ных углах.

2)  «Любые две пря­мые имеют ровно одну общую точку»  — не­вер­но, утвер­жде­ние спра­вед­ли­во толь­ко для пе­ре­се­ка­ю­щих­ся пря­мых.

3)  «Через любые три точки про­хо­дит ровно одна пря­мая»  — не­вер­но, не все­гда через три точки можно про­ве­сти одну пря­мую.

4)  «Если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой мень­ше 1, то и длина любой на­клон­ной, про­ве­ден­ной из дан­ной точки к пря­мой, мень­ше 1»  — не­вер­но, можно про­ве­сти на­клон­ную любой длины, боль­шей, чем рас­сто­я­ние от точки до пря­мой, в том числе и на­клон­ную дли­ной боль­ше 1.

Ответ: 1.

При­ме­ча­ние.

Не сле­ду­ет ду­мать, что во­прос «какие утвер­жде­ния вер­ные?» под­ра­зу­ме­ва­ет, что в от­ве­те долж­но быть не­сколь­ко утвер­жде­ний. Так же, как за­да­ча «ре­ши­те урав­не­ние» не под­ра­зу­ме­ва­ет, что ре­ше­ние во­об­ще есть.